Bài 2 trang 82 SGK Đại số và Giải tích 11 – Môn Toán – Tìm đáp án

Chứng minh rằng với (nin {mathbb N}^*) ta luôn có:

LG a

({n^3} + {rm{ }}3{n^2} + {rm{ }}5n) chia hết cho (3);

Phương pháp giải:

Vận dụng phương pháp chứng minh quy nạp toán học.

Bước 1: Chứng minh mệnh đề đúng với (n=1).

Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng đến (n=k ge 1) (giả thiết quy nạp). Chứng minh đẳng thức đúng đến (n=k+1).

Khi đó đẳng thức đúng với mọi (n in N^*).

Lời giải chi tiết:

Đặt (S_n={n^3} + {rm{ }}3{n^2} + {rm{ }}5n)

Với (n = 1) thì (S_1= 9) chia hết cho (3)

Giả sử với (n = k ≥ 1), (S_k= ({k^3} + {rm{ }}3{k^2} + {rm{ }}5k) vdots) ( 3)

Ta phải chứng minh rằng (S_{k+1})( vdots) (3)

Thật vậy :

(S_{k+1}={left( {k{rm{ }} + {rm{ }}1} right)^3} + {rm{ }}3{left( {k{rm{ }} + {rm{ }}1} right)^2} + {rm{ }}5left( {k{rm{ }} + {rm{ }}1} right))

( = {k^3}{rm{ }} + {rm{ }}3{k^2} + {rm{ }}3k{rm{ }} + {rm{ }}1{rm{ }} + {rm{ }}3{k^2} + {rm{ }}6k{rm{ }} + {rm{ }}3{rm{ }} + {rm{ }}5k{rm{ }} + {rm{ }}5)

( = {rm{ }}{k^3} + {rm{ }}3{k^2} + {rm{ }}5k{rm{ }} + {rm{ }}3{k^2} + {rm{ }}9k{rm{ }} + {rm{ }}9)

hay ({S_{k + 1}} = {S_k} + {rm{ }}3({k^2} + {rm{ }}3k{rm{ }} + {rm{ }}3))

Theo giả thiết quy nạp thì (S_k ) ( vdots) (3), mặt khác (3({k^2} + {rm{ }}3k{rm{ }} + {rm{ }}3) vdots) (3) nên (S_{k+1} vdots) (3).

Vậy ({n^3} + {rm{ }}3{n^2} + {rm{ }}5n) chia hết cho (3) với mọi (nin {mathbb N}^*)

LG b

({4^n} + {rm{ }}15n{rm{ }} – {rm{ }}1) chia hết cho (9)

Phương pháp giải:

Vận dụng phương pháp chứng minh quy nạp toán học.

Bước 1: Chứng minh mệnh đề đúng với (n=1).

Xem thêm:  BÀI 3. MỘT SỐ VẤN ĐỀ MANG TÍNH TOÀN CẦU (Có trắc nghiệm và

Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng đến (n=k ge 1) (giả thiết quy nạp). Chứng minh đẳng thức đúng đến (n=k+1).

Khi đó đẳng thức đúng với mọi (n in N^*).

Lời giải chi tiết:

Đặt ({S_n} = {4^n} + {rm{ }}15n{rm{ }} – {rm{ }}1)

Với (n{rm{ }} = {rm{ }}1,{S_1} = {rm{ }}{4^1} + {rm{ }}15.1{rm{ }}-{rm{ }}1{rm{ }} = {rm{ }}18) nên (S_1 vdots) (9)

Giả sử với (n = k ≥ 1) thì ({S_k} = {rm{ }}{4^k} + {rm{ }}15k{rm{ }} – {rm{ }}1) chia hết cho (9).

Ta phải chứng minh (S_{k+1} vdots) (9).

Thật vậy, ta có:

({S_{k + 1}} = {rm{ }}{4^{k{rm{ }} + {rm{ }}1}} + {rm{ }}15left( {k{rm{ }} + {rm{ }}1} right){rm{ }}-{rm{ }}1)

( = {4.4^k} + 15k + 15 – 1) ( = {4.4^k} + 15k + 14) ( = {4.4^k} + 60k – {45k} + 18 – 4)

( = {rm{ }}4({4^k} + {rm{ }}15k{rm{ }}-{rm{ }}1){rm{ }}-{rm{ }}45k{rm{ }} + {rm{ }}18{rm{ }} ) (= {rm{ }}4{S_k}-{rm{ }}9left( {5k{rm{ }}-{rm{ }}2} right))

Theo giả thiết quy nạp thì (S_k vdots) (9) nên (4S_k vdots) (9), mặt khác (9(5k – 2) vdots) (9), nên (S_{k+1} vdots) (9)

Vậy ((4^n+ 15n – 1) vdots) (9) với mọi (nin {mathbb N}^*)

LG c

({n^3} + {rm{ }}11n) chia hết cho (6).

Phương pháp giải:

Vận dụng phương pháp chứng minh quy nạp toán học.

Bước 1: Chứng minh mệnh đề đúng với (n=1).

Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng đến (n=k ge 1) (giả thiết quy nạp). Chứng minh đẳng thức đúng đến (n=k+1).

Khi đó đẳng thức đúng với mọi (n in N^*).

Lời giải chi tiết:

Đặt ({S_n} = {n^3} + {rm{ }}11n)

Xem thêm:  Giải VBT Toán lớp 9 trang 5, 6, 7 Tập 1: Bài 1: Căn bậc hai

Với (n = 1), ta có ({S_1} = {rm{ }}{1^3} + {rm{ }}11.1{rm{ }} = {rm{ }}12) nên (S_1) ( vdots) (6)

Giả sử với (n = k ≥ 1) , ({S_{k}} = {k^3} + {rm{ }}11k ) chia hết cho 6.

Ta phải chứng minh (S_{k+1})( vdots) 6

Thật vậy, ta có

({S_{k + 1}} = {rm{ }}left( {k{rm{ }} + {rm{ }}1} right)^3{rm{ }} + {rm{ }}11left( {k{rm{ }} + {rm{ }}1} right){rm{ }})

(= {rm{ }}{k^3} + {rm{ }}3k^2+ {rm{ }}3k{rm{ }} + {rm{ }}1{rm{ }} + {rm{ }}11k{rm{ }} + {rm{ }}11)

( = ({rm{ }}{k^3} + {rm{ }}11k){rm{ }} + {rm{ }}3({k^2} + {rm{ }}k{rm{ }} + {rm{ }}4){rm{ }} = {rm{ }}{S_k} + {rm{ }}3({k^2} + {rm{ }}k{rm{ }} + {rm{ }}4))

Theo giả thiết quy nạp thì (S_k)( vdots) (6), mặt khác (k^2+ k + 4 = k(k + 1) + 4) là số chẵn nên (3(k^2+ k + 4)) ( vdots) (6), do đó (S_{k+1})( vdots) (6)

Vậy (n^3+ 11n) chia hết cho (6) với mọi (nin {mathbb N}^*).

Đánh giá tốt post
33bet0.com
tk88asia.com
78win
nhacaiuytin