Câu 28 trang 211 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao – Giaibaitap.me

Câu 28 trang 211 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Tìm các giới hạn sau :

a. (mathop {lim }limits_{x to 0} {{tan 2x} over {sin 5x}})

b. (mathop {lim }limits_{x to 0} {{1 – {{cos }^2}x} over {xsin 2x}})

c. (mathop {lim }limits_{x to 0} {{1 + sin x – cos x} over {1 – sin x – cos x}})

Giải:

a. (mathop {lim }limits_{x to 0} {{tan 2x} over {sin 5x}} = mathop {lim }limits_{x to 0} {{sin 2x} over {cos 2x.sin 5x}} )

(= mathop {lim }limits_{x to 0} {{sin 2x} over {2x}}.{1 over {cos 2x.{{sin 5x} over {5x}}}}.{2 over 5} = {2 over 5})

b. (mathop {lim }limits_{x to 0} {{1 – {{cos }^2}x} over {xsin x}} = mathop {lim }limits_{x to 0} {{{{sin }^2}x} over {2xsin xcos x}} = mathop {lim }limits_{x to 0} {{sin x} over {2xcos x}} = {1 over 2})

c.

(eqalign{ & mathop {lim }limits_{x to 0} {{1 + sin x – cos x} over {1 – sin x – cos x}} = mathop {lim }limits_{x to 0} {{2sin^2 {x over 2} + 2sin {x over 2}cos {x over 2}} over {2{{sin }^2}{x over 2} – 2sin {x over 2}cos {x over 2}}} cr & = mathop {lim }limits_{x to 0} {{sin {x over 2} + cos {x over 2}} over {sin {x over 2} – cos {x over 2}}} = – 1 cr} )

Câu 29 trang 211 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Tìm đạo hàm của các hàm số sau :

a. (y = 5sin x – 3cos x)

b. (y = sin left( {{x^2} – 3x + 2} right))

c. (y = cos sqrt {2x + 1} )

d. (y = 2sin 3xcos 5x)

e. (y = {{sin x + cos x} over {sin x – cos x}})

f. (y = sqrt {cos 2x} )

Giải:

a. (y’ = 5cos x + 3sin x)

b. (y’ = left( {2x – 3} right)cos left( {{x^2} – 3x + 2} right))

c. (y’ = {2 over {2sqrt {2x + 1} }}left( { – sin sqrt {2x + 1} } right) = {{ – sin sqrt {2x + 1} } over {sqrt {2x + 1} }})

d. (y = sin 8x – sin 2x Rightarrow y’ = 8cos 8x – 2cos 2x)

e. (y’ = {{left( {cos x – sin x} right)left( {sin x – cos x} right) – {{left( {cos x + sin x} right)}^2}} over {{{left( {sin x – cos x} right)}^2}}} = {{ – 2} over {{{left( {sin x – cos x} right)}^2}}})

f. (y’ = {{ – 2sin 2x} over {2sqrt {cos 2x} }} = {-{sin 2x} over {sqrt {cos 2x} }})

Câu 30 trang 211 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Chứng minh rằng hàm số (y = {sin ^6}x + {cos ^6}x + 3{sin ^2}x{cos ^2}x) có đạo hàm bằng 0.

Giải

Ta có:

(eqalign{ & y = left( {{{sin }^2}x + {{cos }^2}x} right)left( {{{sin }^4}x – {{sin }^2}x{{cos }^2}x + {{cos }^4}x} right) cr&;;;;;;;;+ 3{sin ^2}x{cos ^2}x cr & = {sin ^4}x + 2{sin ^2}x{cos ^2}x + {cos ^4}x cr & = {left( {{{sin }^2}x + {{cos }^2}x} right)^2} = 1 cr & Rightarrow y’ = 0 cr} )

Câu 31 trang 212 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Tìm đạo hàm của các hàm số sau :

Xem thêm:  Cách tính diện tích hình bình hành đầy đủ chi tiết nhất - Monkey

a. (y = tan {{x + 1} over 2})

b. (y = cot sqrt {{x^2} + 1} )

c. (y = {tan ^3}x + cot 2x)

d. (y = tan 3x – cot 3x)

e. (y = sqrt {1 + 2tan x} )

f. (y = xcot x)

Giải:

a. (y’ = {1 over {2{{cos }^2}{{x + 1} over 2}}})

b. (y’ = {{ – x} over {sqrt {{x^2} + 1} }}.{1 over {{{sin }^2}sqrt {{x^2} + 1} }})

c. (y’ = {{3{{tan }^2}x} over {{{cos }^2}x}} – {2 over {{{sin }^2}2x}})

d. (y’ = {3 over {{{cos }^2}3x}} + {3 over {{{sin }^2}3x}} = {{12} over {{{sin }^2}6x}})

e. (y’ = {1 over {{sqrt {1 + 2tan x}.{cos }^2}x }})

f. (y’ = cot x – {x over {{{sin }^2}x}})

Câu 32 trang 212 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Chứng minh rằng :

a. Hàm số y = tanx thỏa mãn hệ thức (y’ – {y^2} – 1 = 0)

b. Hàm số y = cot2x thỏa mãn hệ thức (y’ + 2{y^2} + 2 = 0)

Giải:

a. (y’ = 1 + {tan ^2}x.) Do đó (y’ – {y^2} – 1 = left( {1 + {{tan }^2}x} right) – {tan ^2}x – 1 = 0)

b. (y’ = – 2left( {1 + {{cot }^2}2x} right)). Do đó (y’ + 2{y^2} + 2 = – 2left( {1 + {{cot }^2}2x} right) + 2{cot ^2}2x + 2 = 0)

Câu 33 trang 212 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Tìm đạo hàm của mỗi hàm số sau :

a. (y = {{sin x} over x} + {x over {{mathop{rm sinx}nolimits} }})

b. (y = {{{{sin }^2}x} over {1 + tan 2x}})

c. (y = tan left( {sin x} right))

d. (y = xcot left( {{x^2} – 1} right))

e. (y = {cos ^2}sqrt {{pi over 4} – 2x} )

f. (y = xsqrt {sin 3x} )

Giải:

a.

(eqalign{ & y’ = {{xcos x – sin x} over {{x^2}}} + {{sin x – xcos x} over {{{sin }^2}x}} cr & = left( {xcos x – {mathop{rm sinx}nolimits} } right)left( {{1 over {{x^2}}} – {1 over {{{sin }^2}x}}} right) cr} )

b.

(eqalign{ & y’ = {{2sin xcos xleft( {1 + tan 2x} right) – {{sin }^2}x.2left( {1 + {{tan }^2}2x} right)} over {{{left( {1 + tan 2x} right)}^2}}} cr & = {{sin 2x} over {left( {1 + tan 2x} right)}} – {{2{{sin }^2}xleft( {1 + {{tan }^2}2x} right)} over {{{left( {1 + tan 2x} right)}^2}}} cr} )

c. (y’ = {{cos x} over {{{cos }^2}left( {sin x} right)}})

d.

(eqalign{ & y’ = cot left( {{x^2} – 1} right) + x.{{ – 2x} over {{{sin }^2}left( {{x^2} – 1} right)}} cr & = cot left( {{x^2} – 1} right) – {{2{x^2}} over {{{sin }^2}left( {{x^2} – 1} right)}} cr} )

e.

(eqalign{ & y = {1 over 2}left( {1 + cos 2sqrt {{pi over 4} – 2x} } right) cr & y’ = – {1 over 2}. sin 2sqrt {{pi over 4} – 2x} .,2{{ – 2} over {2sqrt {{pi over 4} – 2x} }} = {{2sin sqrt {pi – 8x} } over {sqrt {pi – 8x} }} cr} )

f. (y’ = sqrt {sin 3x} + x.{{3cos 3x} over {2sqrt {sin 3x} }} = {{2sin 3x + 3xcos 3x} over {2sqrt {sin 3x} }})

Câu 34 trang 212 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Tính (f’left( pi right)) nếu (fleft( x right) = {{sin x – xcos x} over {cos x – xsin x}})

Xem thêm:  Giải bài tập Toán lớp 6 Bài 4: Biểu đồ cột - Tailieu.com

Giải:

Với mọi x sao cho (cos x – xsin x ne 0,) ta có:

(f’left( x right) = {{left[ {cos x – left( {cos x – xsin x} right)} right]left( {cos x – xsin x} right) – left( {sin x – xcos x} right)left[ { – sin x – left( {sin x + xcos x} right)} right]} over {{{left( {{mathop{rm cosx}nolimits} – xsinx} right)}^2}}})

Vì (sin pi = 0,cos pi = – 1) nên : (f’left( pi right) = {{left[ { – 1 – left( { – 1} right)} right].left( { – 1} right) – pi .pi } over {{{left( { – 1} right)}^2}}} = – {pi ^2})

Câu 35 trang 212 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Giải phương trình y’ = 0 trong mỗi trường hợp sau :

a. y = sin2x – 2cosx

b. y = 3sin2x + 4cos2x + 10x

c. (y = {cos ^2}x + sin x)

d. (y = tan x + cot x)

Giải:

a. Với mọi (x inmathbb R), ta có:

(y’ = 2cos 2x + 2sin x = 2left( {1 – 2{{sin }^2}x} right) + 2sin x)

(=-4{{sin }^2}x+2sin x+2)

Vậy (y’ = 0 Leftrightarrow 2{sin ^2}x – sin x – 1 = 0)

( Leftrightarrow left[ {matrix{ {sin x = 1} cr {sin x = -{1 over 2}} cr } } right. Leftrightarrow left[ {matrix{ {x = {pi over 2} + k2pi } cr {x = – {pi over 6} + k2pi } cr {x = {{7pi } over 6} + k2pi } cr }left( {k in mathbb Z} right) } right.)

b. Với mọi (x inmathbb R), ta có: (y’ = 6cos 2x – 8sin 2x + 10)

Vậy (y’ = 0 Leftrightarrow 4sin 2x – 3cos 2x = 5)

( Leftrightarrow {4 over 5}sin 2x – {3 over 5}cos 2x = 1,,left( 1 right))

Vì ({left( {{4 over 5}} right)^2} + {left( {{3 over 5}} right)^2} = 1) nên có số (α) sao cho (cos alpha = {4 over 5},text{ và },sin alpha = {3 over 5})

Thay vào (1), ta được :

(eqalign{ & sin 2xcos alpha – sinalpha cos2x = 1 cr & Leftrightarrow sin left( {2x – alpha } right) = 1 cr & Leftrightarrow 2x – alpha = {pi over 2} + k2pi cr & Leftrightarrow x = {1 over 2}left( {alpha + {pi over 2} + k2pi } right),,left( {k inmathbb Z} right) cr} )

c. Với mọi (x inmathbb R), ta có: (y’ = – 2cos x{mathop{rm sinx}nolimits} + cosx = cosxleft( {1 – 2sin x} right))

(eqalign{ & y’ = 0 Leftrightarrow cos xleft( {1 – 2sin x} right) = 0 Leftrightarrow left[ {matrix{ { cos x = 0 } cr {1 – 2sin x = 0 } cr } } right. cr & Leftrightarrow left[ {matrix{ {x = {pi over 2} + kpi} cr {{mathop{rm sinx}nolimits} = {1 over 2} Leftrightarrow left[ {matrix{ {x = {pi over 6} + k2pi } cr {x = {{5pi } over 6} + k2pi } cr } } right. } cr } } right. cr} )

Vậy (x = {pi over 2} + kpi ;x = {pi over 6} + k2pi ;x = {{5pi } over 6} + k2pi left( {k inmathbb Z} right))

d.

(eqalign{ & y’ = {1 over {{{cos }^2}x}} – {1 over {{{sin }^2}x}},forall,x ne k{pi over 2} cr & y’ = 0 Leftrightarrow {1 over {{{cos }^2}x}} = {1 over {{{sin }^2}x}} Leftrightarrow {tan ^2}x = 1 cr & Leftrightarrow tan x = pm 1 Leftrightarrow x = pm {pi over 4} + kpi ,k in mathbb Z cr} )

Câu 36 trang 212 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Cho hàm số (fleft( x right) = 2{cos ^2}left( {4x – 1} right)). Chứng minh rằng với mọi x ta có (left| {f’left( x right)} right| le 8.) Tìm các giá trị của x để đẳng thức xảy ra.

Xem thêm:  Công thức và cách tính bán kính hình tròn dễ nhớ nhất - Monkey

Giải:

Với mọi (x inmathbb R), ta có:

(f’left( x right) = 2.2cos left( {4x – 1} right).left[ { – sin left( {4x – 1} right)} right]4 = – 8sin 2left( {4x – 1} right))

Suy ra: (left| {f’left( x right)} right| = 8left| {sin 2left( {4x – 1} right)} right| le 8)

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi :

(eqalign{ & sin 2left( {4x – 1} right) = pm 1 cr & Leftrightarrow 2left( {4x – 1} right) = {pi over 2} + kpi cr & Leftrightarrow x = {pi over 16} + {{kpi } over 8} + {1 over 4} cr & Leftrightarrow x = {1 over {16}}left( {pi + 4 + k2pi } right),,left( {k inmathbb Z} right) cr} )

Câu 37 trang 212 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Cho mạch điện như hình 5.7. Lúc đầu tụ điện có điện tích Q0. Khi đóng khóa K, tụ điện phóng điện qua cuộn dây ; điện tích q của tụ điện phụ thuộc vào thời gian t theo công thức (qleft( t right) = {Q_0}sin omega t.) Trong đó, ω là tốc độ góc. Biết rằng cường độ I(t) của dòng điện tại thời điểm t được tính theo công thức (Ileft( t right) = q’left( t right)) Cho biết ({Q_0} = {10^{ – 8}},text{ và },omega = {10^6}pi ,rad/s.) Hãy tính cường độ của dòng điện tại thời điểm t = 6s (tính chính xác đến 10-5 mA)

giai bai 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 trang 211212213 sgk dai so va giai tich 11 nang cao 1 1514953216

Giải

Cường độ dòng điện tại thời điểm t là :

(Ileft( t right) = q’left( t right) = {Q_0}omega cos omega t)

Khi ({Q_0} = {10^{ – 8}}C,text{ và },omega = {10^6}pi ,rad/s) thì cường độ dòng điện tại thời điểm t = 6s là :

(Ileft( 6 right) = {10^{ – 8}}{.10^6}pi .cos left( {{{10}^6}pi .6} right) = {pi over {100}}left( A right) approx 31,41593,left( {mA} right))

Câu 38 trang 213 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Cho hàm số (y = {cos ^2}x + msin x) (m là tham số) có đồ thị là (C). Tìm m trong mỗi trường hợp sau:

a. Tiếp tuyến của (C) tại điểm với hoành độ (x = π) có hệ số góc bằng 1

b. Hai tiếp tuyến của (C) tại các điểm có hoành độ (x = – {pi over 4}) và (x = {pi over 3}) song song hoặc trùng nhau.

Giải

Đặt (fleft( x right) = {cos ^2}x + msin x,) ta có :

(f’left( x right) = – sin 2x + mcos x)

a. Hệ số góc tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ (x = π) là :

(eqalign{ & f’left( pi right) = – sin 2pi + mcos pi = – m cr & text{Vậy},f’left( pi right) = 1 Leftrightarrow m = – 1 cr} )

b. Theo đề bài, ta có :

(eqalign{ & f’left( { – {pi over 4}} right) = f’left( {{pi over 3}} right) cr & Leftrightarrow – sin left( { – {pi over 2}} right) + mcos left( { – {pi over 4}} right) = – sin {{2pi } over 3} + mcos {pi over 3} cr & Leftrightarrow 1 + m{{sqrt 2 } over 2} = – {{sqrt 3 } over 2} + {m over 2} Leftrightarrow m = {{sqrt 3 + 2} over {1 – sqrt 2 }} cr} )

Giaibaitap.me

Đánh giá tốt post
33bet0.com
tk88asia.com
78win
nhacaiuytin