Giải bài 1 2 3 4 5 6 trang 36 37 sgk Đại số và Giải tích 11

Hướng dẫn giải Bài §3. Một số phương trình lượng giác thường gặp, Chương I. Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác, sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11. Nội dung bài giải bài 1 2 3 4 5 6 trang 36 37 sgk Đại số và Giải tích 11 bao gồm tổng hợp công thức, lý thuyết, phương pháp giải bài tập đại số và giải tích có trong SGK để giúp các em học sinh học tốt môn toán lớp 11.

Lý thuyết

1. Phương trình bậc nhất với một hàm số lượng giác

Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng (at + b = 0) trong đó $a, b$ là các hằng số (left( {a ne 0} right)) và t là một trong các hàm số lượng giác.

Ví dụ: (2sin x – 1 = 0,;,,,c{rm{os}}2x + frac{1}{2} = 0;,,,3tan x – 1 = 0;,,sqrt 3 cot x + 1 = 0)

Phương pháp giải: Đưa về phương trình lượng giác cơ bản.

2. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

Dạng phương trình:

(begin{array}{l}a{sin ^2}x + bsin x + c = 0\a{cos ^2}x + bcos x + c = 0\a{tan ^2}x + btan x + c = 0\a{cot ^2}x + bcot x + c = 0end{array})

Cách giải:

Đặt: (t = sin x{rm{ ( – 1}} le {rm{t}} le {rm{1)}})

(begin{array}{l}t = cos x{rm{ ( – 1}} le {rm{t}} le {rm{1)}}\t = tan x\t = cot xend{array})

Chú ý:

Nếu a là một số cho trước mà (tan alpha ) xác định thì phương trình tanx = tana có nghiệm x = (alpha + )kp thoả điều kiện (cos x ne 0).

Phương trình tanP(x) = tanQ(x) thì cần phải chú ý đến điều kiện cosP(x) (ne) 0 và cosQ(x) (ne) 0.

3. Phương trình bậc nhất đối với $sinx$ và $cosx$

Dạng phương trình:

(asin x + bcos x = c{rm{ (1)}})

Điều kiện có nghiệm: ({a^2} + {b^2} ge {c^2})

Cách giải:

♦ Cách 1: Chia hai vế của (1) cho (sqrt {{a^2} + {b^2}} ), ta được:

(left( 1 right) Leftrightarrow frac{a}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }}sin x + frac{b}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }}cos x = frac{c}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }})

Vì ({left( {frac{a}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }}} right)^2} + {left( {frac{b}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }}} right)^2} = 1) nên ta đặt (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{sin varphi = frac{a}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }}}\{cos varphi = frac{b}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }}}end{array}} right.)

Phương trình trở thành:

(sin xsin varphi + cos xcos varphi = frac{c}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }} Leftrightarrow cos left( {x – varphi } right) = frac{c}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }})

Đặt (cos alpha = frac{c}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }}) ta được phương trình lượng giác cơ bản.

Hoàn toàn tương tự ta cũng có thể đặt (left{ begin{array}{l}cos varphi = frac{a}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\sin varphi = frac{b}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }}end{array} right.)

Khi đó phương trình trở thành: ({mathop{rm sinxcos}nolimits} varphi + cosxsinvarphi = frac{c}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }} Leftrightarrow sin left( {x + varphi } right) = frac{c}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }})

♦ Cách 2:

Xét (cos frac{x}{2} = 0 Leftrightarrow x = pi + k2pi ,{rm{ k}} in mathbb{Z}) có là nghiệm của (1) không

Xét (cos frac{x}{2} ne 0 Leftrightarrow x ne pi + k2pi ,k in mathbb{Z})

Đặt (t = tan frac{x}{2}). Khi đó (sin x = frac{{2t}}{{1 + {t^2}}}) và (cos x = frac{{1 – {t^2}}}{{1 + {t^2}}})

Phương trình trở thành:

(a.frac{{2t}}{{1 + {t^2}}} + b.frac{{1 – {t^2}}}{{1 + {t^2}}} = c Leftrightarrow left( {b + c} right){t^2} – 2at + c – b = 0{rm{ (2)}})

Giải (2) theo t, tìm được t thay vào (t = tan frac{x}{2}) suy ra x

♦ Cách 3:

Nếu (a ne 0) chia 2 vế cho a rồi ta đặt (tan alpha = frac{b}{a}) (left( { – frac{pi }{2} < alpha < frac{pi }{2}} right))

Phương trình trở thành: (sin x + frac{{sin alpha }}{{c{rm{os}}alpha }}cos x = frac{c}{a})

( Leftrightarrow c{rm{os}}alpha sin x + sin alpha cos x = frac{c}{a}c{rm{os}}alpha Leftrightarrow sin (x + alpha ) = frac{c}{a}c{rm{os}}alpha )

Đặt (sin varphi = frac{c}{a}cos alpha ) ta được phương trình lượng giác cơ bản (sin (x + alpha ) = sin varphi ).

Dưới đây là phần Hướng dẫn trả lời các câu hỏi và bài tập trong phần hoạt động của học sinh sgk Đại số và Giải tích 11.

Câu hỏi

1. Trả lời câu hỏi 1 trang 29 sgk Đại số và Giải tích 11

Giải các phương trình trong ví dụ 1.

a) $2sinx – 3 = 0$ là phương trình bậc nhất đối với $sinx.$

b) $sqrt 3 tanx + 1 = 0$ là phương trình bậc nhất đố với $tanx.$

Trả lời:

a) Ta thấy: $2sinx – 3 = 0 ⇔ sin⁡ x = {3 over 2}$ , vô nghiệm vì $|sin⁡x| ≤ 1$

b) Ta có: $sqrt 3tan⁡x + 1 = 0 ⇔ tan⁡x = {{ – sqrt 3 } over 3}$

$⇔ x = {{ – pi } over 6} + kπ, k ∈ Z$

2. Trả lời câu hỏi 2 trang 31 sgk Đại số và Giải tích 11

Giải các phương trình sau:

a) 3cos2x $- 5cosx + 2 = 0$;

b) 3tan2x – 2√3 $tanx + 3 = 0$.

Trả lời:

a) 3cos2x – $5 cos⁡ x + 2 = 0$

Đặt $cos⁡ x = t$ với điều kiện $-1 ≤ t ≤ 1$ (*),

ta được phương trình bậc hai theo $t$:

3t2 $- 5t + 2 = 0 (1)$

$Δ =$ (-5)2 $- 4.3.2 = 1$

Phương trình (1)có hai nghiệm là:

(eqalign{ & {t_1} = {{ – ( – 5) + sqrt 1 } over {2.3}} = {6 over 6} = 1,,(thỏa,mãn) cr & {t_2} = {{ – ( – 5) – sqrt 1 } over {2.3}} = {4 over 6} = {2 over 3},,(thỏa,mãn) cr} )

Ta có:

$cos⁡ x = 1 ⇔ cos ⁡x = cos⁡ 0$

$⇔ x = k2π, k ∈ Z$

cos⁡x = 2/3 ⇔ x = ± arccos⁡ 2/3 + k2π, k ∈ Z

b) 3tan2 x – 2√3 $tan⁡x + 3 = 0$

Đặt $tan⁡x = t$

Ta được phương trình bậc hai theo $t$:

3t2 – 2√3 t + 3 = 0(1)

$Δ =$ (-2√3)2 $- 4.3.3 = -24 < 0$

Vậy Phương trình (1) vô nghiệm, nên không có $x$ thỏa mãn đề bài.

3. Trả lời câu hỏi 3 trang 32 sgk Đại số và Giải tích 11

Hãy nhắc lại:

a) Các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản;

b) Công thức cộng;

c) Công thức nhân đôi;

d) Công thức biến đổi tích thành tổng và tổng thành tích.

Trả lời:

a) Các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản:

sin2α + cos2α $= 1$

Xem thêm:: Hướng dẫn cách gửi file, gửi thư mục trên Zalo nhanh chóng, đơn

1 + tan2α = ({1 over {{{cos }^2}alpha }}); α ≠ ({pi over 2}) + kπ, k ∈ Z

1 + cot2α = ({1 over {{{sin }^2}alpha }}); α ≠ kπ, k ∈ Z

$tan⁡α.cot⁡α = 1$; α ≠ ({{kpi } over 2}), k ∈ Z

b) Công thức cộng:

$cos⁡(a – b) = cos⁡a cos⁡b + sin⁡a sin⁡b$

$cos⁡(a + b) = cos⁡a cos⁡b – sin⁡a sin⁡b$

$sin⁡(a – b) = sin⁡a cos⁡b – cos⁡a sin⁡b$

(eqalign{ & tan (a – b) = {{tan ,a – tan ,b} over {1 + tan ,a.tan ,b}} cr & tan (a + b) = {{tan ,a – tan ,b} over {1 – tan ,a.tan ,b}} cr} )

c) Công thức nhân đôi:

$sin⁡2α = 2 sin⁡α cos⁡α$

$cos⁡2α =$ cos2α – sin2α = 2cos2α – 1 = 1 – 2sin2α

(tan 2alpha = {{2tan alpha } over {1 – {{tan }^2}alpha }})

d) Công thức biến đổi tích thành tổng:

$cos⁡ a cos⁡b = {1 over 2} [cos⁡(a – b) + cos⁡(a + b) ]$

$sin⁡a sin⁡b = {1 over 2} [cos⁡(a – b) – cos⁡(a + b) ]$

$sin⁡a cos⁡b = {1 over 2} [sin⁡(a – b) + sin⁡(a + b) ]$

Công thức biến đổi tổng thành tích:

(eqalign{ & cos u + cos v = 2cos {{u + v} over 2}cos {{u – v} over 2} cr & cos u – cos v = – 2sin {{u + v} over 2}sin {{u – v} over 2} cr & sin u + sin v = 2sin {{u + v} over 2}cos {{u – v} over 2} cr & sin u – sin v = 2cos {{u + v} over 2}sin {{u – v} over 2} cr} )

4. Trả lời câu hỏi 4 trang 34 sgk Đại số và Giải tích 11

Giải phương trình $3cos^2 6x + 8sin3x cos3x – 4 = 0$.

Trả lời:

$3cos^2 6x + 8sin3x cos3x – 4 = 0$.

$⇔ 3(1-sin^2 6x)+ 4sin⁡6x – 4 = 0$

$⇔ -3sin^2 6x + 4sin⁡6x – 1 = 0$

Đặt $sin⁡ 6x = t$ với điều kiện $-1 ≤ t ≤ 1 (*)$,

ta được phương trình bậc hai theo $t$:

$-3t^2 + 4t – 1 = 0 (1)$

$Δ = 4^2 – 4.(-1).(-3) = 4$

Phương trình (1) có hai nghiệm là:

(eqalign{ & {t_1} = {{ – 4 + sqrt 4 } over {2.( – 3)}} = {1 over 3}(TM) cr & {t_2} = {{ – 4 – sqrt 4 } over {2.( – 3)}} = 1,(TM) cr} )

Ta có:

$sin⁡6x = {{ 1} over 3}$

$⇔ 6x = arcsin {{ 1} over 3} + k2π$ và $6x = π – arcsin {{ 1} over 3} + k2π$

$⇔ x = {1 over 6} arcsin {{ 1} over 3} + {{kpi } over 3}$ và $x = {pi over 6} – {1 over 6} arcsin {{ 1} over 3} + {{kpi } over 3}, k ∈ Z$

$sin⁡ 6x = 1 ⇔ sin ⁡6x = sin {{ pi } over 2}$

$⇔ 6x = {{ pi } over 2} + k2π, k ∈ Z$

$⇔ x = {{ pi } over 12} + {{kpi } over 3}, k ∈ Z$

5. Trả lời câu hỏi 5 trang 35 sgk Đại số và Giải tích 11

Dựa vào các công thức cộng đã học:

$sin(a + b) = sina cosb + sinb cosa$;

$sin(a – b) = sina cosb – sinb cosa$;

$cos(a + b) = cosa cosb – sina sinb$;

$cos(a – b) = cosa cosb + sina sinb$;

và kết quả cos ({pi over 4}) = sin({pi over 4}) = ({{sqrt 2 } over 2}), hãy chứng minh rằng:

a) sinx + cosx = √2 cos(x – ({pi over 4}));

b) sin x – cosx = √2 sin(x – ({pi over 4})).

Trả lời:

Ta có:

a) sin⁡x + cos⁡x = √2.(({{sqrt 2 } over 2}) sin⁡x + ({{sqrt 2 } over 2}) cos⁡x )

= √2.(sin⁡ ({pi over 4}) sin⁡x + cos⁡ ({pi over 4}) cos⁡x )

= √2.cos⁡(x – ({pi over 4}))

b) sin⁡x – cos⁡x = √2.(({{sqrt 2 } over 2}) sin⁡x – ({{sqrt 2 } over 2}) cos⁡x )

= √2.(cos⁡ ({pi over 4}) sin⁡x + sin⁡ ({pi over 4}) cos⁡x )

= √2.sin⁡(x – ({pi over 4}))

6. Trả lời câu hỏi 6 trang 36 sgk Đại số và Giải tích 11

Giải phương trình $√3 sin3x – cos3x = √2.$

Trả lời:

(eqalign{ & sqrt 3 sin 3x – cos 3x = sqrt 2 cr & Leftrightarrow {{sqrt 3 } over 2}sin 3x – {1 over 2}cos 3x = {{sqrt 2 } over 2} cr & Leftrightarrow cos {pi over 6}sin 3x – sin {pi over 6}cos 3x = sin {pi over 4} cr & Leftrightarrow sin (3x – {pi over 6}) = sin {pi over 4} cr & Leftrightarrow left[ matrix{ 3x – {pi over 6} = {pi over 4} + k2pi hfill cr 3x – {pi over 6} = pi – {pi over 4} + k2pi hfill cr} right.;,k in Z cr & Leftrightarrow left[ matrix{ 3x = {5pi over 12} + k2pi hfill cr 3x = {11pi over 12} + k2pi hfill cr} right.;k in Z cr & Leftrightarrow left[ matrix{ x = {5pi over 36} + k{{2pi } over 3} hfill cr x = {11pi over 36} + k{{2pi } over 3} hfill cr} right.;,,k in Z cr} )

Dưới đây là phần Hướng dẫn giải bài 1 2 3 4 5 6 trang 36 37 sgk Đại số và Giải tích 11. Các bạn hãy đọc kỹ đầu bài trước khi giải nhé!

Bài tập

Giaibaisgk.com giới thiệu với các bạn đầy đủ phương pháp giải bài tập đại số và giải tích 11 kèm bài giải chi tiết bài 1 2 3 4 5 6 trang 36 37 sgk Đại số và Giải tích 11 của Bài §3. Một số phương trình lượng giác thường gặp trong Chương I. Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác cho các bạn tham khảo. Nội dung chi tiết bài giải từng bài tập các bạn xem dưới đây:

1. Giải bài 1 trang 36 sgk Đại số và Giải tích 11

Giải phương trình: (small sin^2x – sinx = 0)

Bài giải:

Xét phương trình ({sin ^2}x – sin x = 0)

Đặt (t = sin x, – 1 le t le 1.) Phương trình trở thành:

({t^2} – t = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}t = 0\t = 1end{array} right.) (Thỏa mãn điều kiện)

(Rightarrow bigg lbrackbegin{matrix} sinx=0\ sinx=1 end{matrix})

(Leftrightarrow Bigg lbrackbegin{matrix} x=kpi \ \ x=frac{pi }{2}+k2 pi end{matrix}, (kin Z))

Vậy phương trình có nghiệm là: (Bigg lbrackbegin{matrix} x=kpi \ \ x=frac{pi }{2}+k2 pi end{matrix}, (kin mathbb{Z})).

2. Giải bài 2 trang 36 sgk Đại số và Giải tích 11

Giải các phương trình sau:

a) (small 2cos^2x – 3cosx + 1 = 0);

b) (small 2sin2x + sqrt{2}sin4x = 0).

Bài giải:

a) (2cos^2x-3cosx+1=0)

Đặt ( t = cosx, t in [-1 ; 1])

Ta có phương trình (2t^2-3t+1=0Leftrightarrow Bigg lbrackbegin{matrix} t=1\ \ t=frac{1}{2} end{matrix}) (nhận)

(t=1Leftrightarrow cosx=1Leftrightarrow x=k2pi, kin mathbb{Z})

(t=frac{1}{2}Leftrightarrow cosx=frac{1}{2} Leftrightarrow cosx=cosfrac{pi }{3},x=pm frac{pi }{3}+k2 pi, kin mathbb{Z})

Xem thêm:: Phần tử của tập hợp – Bài tập và lời giải Toán lớp 6 – THCS Lập Lễ

b) (2sin2x+sqrt{2}sin4x=0)

(Leftrightarrow 2sin2x+2sqrt{2}sin2x.cos2x=0)

(Leftrightarrow 2sin2x(1+sqrt{2}cos2x)=0)

(Leftrightarrow Bigg lbrackbegin{matrix} sin2x=0 \ \ cos 2x = – frac{1}{{sqrt 2 }} end{matrix}Leftrightarrow Bigg lbrackbegin{matrix} sin2x=0 \ \ cos2x=cosfrac{3pi }{4} end{matrix})

(Leftrightarrow Bigg lbrackbegin{matrix} 2x=k pi, kin mathbb{Z}\ \ 2x=pm frac{3pi }{4}+k2pi,kin mathbb{Z} end{matrix}Leftrightarrow Bigg lbrackbegin{matrix} x=frac{kpi}{2},kin mathbb{Z} \ \ x= pm frac{3pi}{8}+kpi ,kin mathbb{Z} end{matrix})

Vậy phương trình có nghiệm là: (Leftrightarrow Bigg lbrackbegin{matrix} x=frac{kpi}{2},kin mathbb{Z} \ \ x=pm frac{3pi}{8}+kpi ,kin mathbb{Z} end{matrix})

3. Giải bài 3 trang 37 sgk Đại số và Giải tích 11

Giải các phương trình sau:

a) (sin^2(frac{x}{2}) – 2cos(frac{x}{2}) + 2 = 0);

b) (small 8cos^2x + 2sinx – 7 = 0);

c) (small 2tan^2x + 3tanx + 1 = 0);

d) (small tanx -2cotx + 1 = 0).

Bài giải:

a) (sin^2frac{x}{2}-2cosfrac{x}{2}+2=0Leftrightarrow 1-cos^2frac{x}{2}- 2cosfrac{x}{2}+2=0)

(Leftrightarrow cos^2frac{x}{2}+2cosfrac{x}{2}-3=0)

Đặt (t=cosfrac{x}{2},-1leq tleq 1), ta có phương trình:

(t^2+2t-3=0Leftrightarrow bigg lbrackbegin{matrix} t=1\ t=-3 (loại) end{matrix})

(t=1Leftrightarrow cosfrac{x}{2}=1Leftrightarrow frac{x}{2}=k2pi,kin mathbb{Z} Leftrightarrow x=k 4 pi, kin mathbb{Z})

Vậy phương trình có nghiệm là: (x=k 4 pi, kin mathbb{Z})

b) (8cos^2x+2sinx-7=0Leftrightarrow 8(1-sin^2x)+2sinx-7=0)

(Leftrightarrow 8-8sin^2x+2sinx-7=0)

(Leftrightarrow 8sin^2x-2sinx-1=0)

Đặt (t=sinx,-1leq tleq 1), ta có phương trình:

(8t^2-2t-1=0Leftrightarrow Bigg lbrackbegin{matrix} t=frac{1}{2}\ \ t=-frac{1}{4} end{matrix} (nhận))

(t=frac{1}{2}Leftrightarrow sinx=frac{1}{2}Leftrightarrow sinx=sinfrac{pi }{6}Leftrightarrow Bigg lbrack begin{matrix} x=frac{pi }{6}+k2pi \ \ x=pi -frac{pi }{6}+k2pi end{matrix} kin mathbb{Z})

(t=frac{1}{4}Leftrightarrow sinx=-frac{1 }{4}Leftrightarrow Bigg lbrack begin{matrix} x=arcsin left (-frac{1 }{4} right )+k2pi , kin mathbb{Z}\ \ x=pi -arcsin left (-frac{1 }{4} right )+k2pi , kin mathbb{Z} end{matrix})

Vậy phương trình có nghiệm là: (Bigg lbrackbegin{matrix} x=frac{pi }{6}+k2pi\ x=frac{5pi }{6}+k2pi\ x=arcsin left ( -frac{1}{4} right )+k2pi \ x=pi -arcsin left ( -frac{1}{4} right )+k2pi end{matrix},kin mathbb{Z})

c) (2tan^2x+3tanx+1=0)

Đặt t = tanx (điều kiện (xneq frac{pi }{2}+kpi , kin mathbb{Z}))

Ta có phương trình: (2t^2+3t+1=0Leftrightarrow Bigg lbrackbegin{matrix} t=1\ \ t=-frac{1}{2} end{matrix})

(t=-1Rightarrow tanx=-1Rightarrow tanx=-tanfrac{pi }{4})

(Rightarrow tanx=tanleft ( -frac{pi }{4} right )Rightarrow x=-frac{pi }{4} +k pi) (thoả mãn điều kiện)

(t=frac{1}{2}Rightarrow tanx=frac{1}{2}Rightarrow x=arctan left ( frac{1}{2} right ) +k pi) (thoả mãn điều kiện)

Vậy phương trình có nghiệm là: (Bigg lbrackbegin{matrix} x=-frac{pi }{4} +k pi \ \ x=arctan left ( frac{1}{2} right )+k pi end{matrix}, (kin mathbb{Z}))

d) (tanx-2cotx+1=0)

Điều kiện (left{begin{matrix} xneq frac{pi }{2}+k pi, kin mathbb{Z}\ xneq k pi end{matrix}right.) hay (xneq kfrac{pi }{2}, kin mathbb{Z})

Đặt t = tanx, ta có phương trình:

(t-frac{2}{t}+1=0Rightarrow t^2+t-2=0Rightarrow bigg lbrackbegin{matrix} t=1\ t=-2 end{matrix})

(t=1Rightarrow tanx=1)

(Rightarrow tanx=tanfrac{pi }{4}Rightarrow x=frac{pi }{4}+k pi, kin mathbb{Z}) (thoả mãn điều kiện)

(t=-2Rightarrow tanx=-2Rightarrow x=arctan(-2)+k pi, kin mathbb{Z}) (thoả mãn điều kiện)

Vậy phương trình có nghiệm là: (Bigg lbrackbegin{matrix} x=frac{pi }{4}+k pi \ \ x=arctan(-2)+k pi end{matrix}, kin mathbb{Z})

4. Giải bài 4 trang 37 sgk Đại số và Giải tích 11

Giải các phương trình sau:

a) (small 2sin^ 2x + sinxcosx – 3cos^2x = 0)

b) (small 3sin^2x – 4sinxcosx + 5cos^2x = 2)

c) (small 3sin^2x – sin2x + 2cos^2x = frac{1}{2})

d) (small 2cos^2x -3sqrt{3}sin2x -4sin^2x = -4)

Bài giải:

Phương pháp giải:

Xét phương trình: (asin {}^2x + bsin xcos x + ccos {}^2x = d )

Xét (cos x = 0 Leftrightarrow x = frac{pi }{2} + kpi ,k in mathbb{Z}) có là nghiệm của (1) hay không

Xét (cos x ne 0), chia hai vế của (1) cho ({cos ^2}x) ta được:

(a{tan ^2}x + btan x + c = d(1 + {tan ^2}x))

( Leftrightarrow left( {a – d} right){tan ^2}x + btan x + c – d = 0) (left( {1′} right))

Đặt (t = tan x)

Phương trình (left( {1′} right)) trở thành: ((a – d){t^2} + bt + c – d = 0{rm{ (2)}})

Giải phương trình (2) theo t từ đó suy ra x theo (t = tan x).

Áp dụng:

a) Ta nhận thấy $cosx = 0$ không là nghiệm của phương trình. Chia hai vế cho cos2x ta được:

(Rightarrow 2tan^2x+tanx-3=0)

(Leftrightarrow Bigg lbrack begin{matrix} tan x = 1\ \ tan x = -frac{3}{2} end{matrix})

Vậy phương trình có nghiệm (Bigg lbrackbegin{matrix} x= frac{pi }{4}+k pi \ \ x= arctanleft (-frac{3}{2} right )+k pi end{matrix} , kin mathbb{Z})

b) Ta nhận thấy $cosx = 0$ không là nghiệm của phương trình:

(3sin^2x+4sinxcosx+5cos^2x=2), nên chia hai vế phương trình cho cos2x ta được: (3tan^2x-4tanx+5=2(1+tan^2x))

(Leftrightarrow tan^2x-4tanx+3=0)

Đặt $t = tanx$

Ta có phương trình (t^2-4t+3=0 Leftrightarrow bigg lbrack begin{matrix} t=1\ t=3 end{matrix})

(t=1Rightarrow tanx=1Rightarrow tanx=tanfrac{pi }{4}Rightarrow x=frac{pi }{4}+k pi, kin mathbb{Z}).

(t=3Rightarrow tanx=3Rightarrow x= arctan(3)+k pi, (kin mathbb{Z}))

Vậy phương trình có nghiệm là: (Bigg lbrackbegin{matrix} x=frac{pi }{4}+k pi \ \ x= arctan(3)+k pi end{matrix} , (kin mathbb{Z}))

c) (sin^2x+sin2x-2cos^2x=frac{1}{2}Leftrightarrow sin^2x+2sinxcosx-2cos^2x=frac{1}{2}) (3)

(cosx=0Leftrightarrow x=frac{pi }{2}+k pi, kin mathbb{Z}) không là nghiệm của (3)

(cosxneq 0), chia hai vế của (3) cho (cos^2x), ta được:

(frac{sin^2x}{cos^2x}+frac{2sinx}{cosx}-2=frac{1}{2cos^2x}Rightarrow tan^2x+2tanx-2=frac{1}{2}(1+tan^2x))

Xem thêm:: Biển Số Xe Đuôi 79 Có Ý Nghĩa Gì / Top 8 # Xem Nhiều Nhất & Mới

(Rightarrow 2tan^2x+4tanx-4=1+tan^2x)

(Rightarrow tan^2x +4tanx-5=0)

Đặt $t = tanx$, ta có phương trình:

(t^2+4t-5=0Leftrightarrow bigg lbrackbegin{matrix} t=1\ t=-5 end{matrix})

(t=1Rightarrow tanx=1Rightarrow x=frac{pi }{4}+k pi, kin mathbb{Z})

(t=-5 Rightarrow tanx=-5Rightarrow x=arctan(-5)+kpi, kin mathbb{Z})

Vậy phương trình có nghiệm (bigg lbrackbegin{matrix} x=frac{pi }{4}+k pi \ \ x=arctan(-5)+kpi end{matrix}, kin mathbb{Z})

d) (2cos^2x – 3sqrt{3}sin2x – 4sin^2x = -4)

(Leftrightarrow 2cos^2x – 6sqrt{3}sinxcosx -4(1-cos^2x)+4= 0)

(Leftrightarrow 2cos^2x – 6sqrt{3}sinxcosx – 4+4cos^2x+4= 0)

(Leftrightarrow 6cos^2x-6sqrt{3}sinxcosx=2)

(Leftrightarrow 6cosx(cosx – sqrt{3}sinx) = 0)

(Bigg lbrackbegin{matrix} cosx=0\ \ cosx-sqrt{3}sinx=0 end{matrix}Leftrightarrow Bigg lbrackbegin{matrix} x=frac{pi }{2}+kpi,kin mathbb{Z}\ \ cosx=sqrt{3}sinx end{matrix})

(Leftrightarrow bigg lbrackbegin{matrix} x=frac{pi }{2}+kpi, kin mathbb{Z}\ \ tanx=frac{1}{sqrt{3}} end{matrix}Leftrightarrow Bigg lbrackbegin{matrix} x=frac{pi }{2}+kpi\ \ x=frac{pi }{6}+kpi end{matrix}, kin mathbb{Z})

Vậy phương trình có nghiệm là (Bigg lbrackbegin{matrix} x=frac{pi }{2}+kpi\ \ x=frac{pi }{6}+kpi end{matrix}, kin mathbb{Z})

5. Giải bài 5 trang 37 sgk Đại số và Giải tích 11

Giải các phương trình sau:

a) (small cosx – sqrt{3}sinx = sqrt{2})

b) (small 3sin3x – 4cos3x = 5)

c) (small 2sin2x + 2cos2x -sqrt{2} = 0)

d) (small 5cos2x + 12sin2x – 13 = 0)

Bài giải:

Phương pháp giải:

Xét phương trình: (asin x + bcos x = c{rm{ (1)}})

Điều kiện có nghiệm: ({a^2} + {b^2} ge {c^2})

Chia hai vế của (1) cho (sqrt {{a^2} + {b^2}} ), ta được:

(left( 1 right) Leftrightarrow frac{a}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }}sin x + frac{b}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }}cos x = frac{c}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }})

Vì ({left( {frac{a}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }}} right)^2} + {left( {frac{b}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }}} right)^2} = 1) nên ta đặt (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{sin varphi = frac{a}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }}}\{cos varphi = frac{b}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }}}end{array}} right.)

Phương trình trở thành:

(sin xsin varphi + cos xcos varphi = frac{c}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }} Leftrightarrow cos left( {x – varphi } right) = frac{c}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }})

Đặt (cos alpha = frac{c}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }}) ta được phương trình lượng giác cơ bản.

Hoàn toàn tương tự ta cũng có thể đặt (left{ begin{array}{l}cos varphi = frac{a}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\sin varphi = frac{b}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }}end{array} right.)

Khi đó phương trình trở thành: ({mathop{rm sinxcos}nolimits} varphi + cosxsinvarphi = frac{c}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }} Leftrightarrow sin left( {x + varphi } right) = frac{c}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }})

Áp dụng:

a) (cos x – sqrt 3 sin x = sqrt 2 )

(begin{array}{l} Leftrightarrow frac{1}{2}cos x – frac{{sqrt 3 }}{2}{mathop{rm sinx}nolimits} = frac{1}{{sqrt 2 }}\ Leftrightarrow sin frac{pi }{6}.cos x – cos frac{pi }{6}.sin x = frac{1}{{sqrt 2 }}\ Leftrightarrow sin left( {frac{pi }{6} – x} right) = frac{1}{{sqrt 2 }} Leftrightarrow sin left( {frac{pi }{6} – x} right) = sin frac{pi }{4}\ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}frac{pi }{6} – x = frac{pi }{4} + k2pi \frac{pi }{6} – x = frac{{3pi }}{4} + k2pi end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = – frac{pi }{{12}} + k2pi \x = – frac{{7pi }}{{12}} + k2pi end{array} right.,k in mathbb{Z}.end{array})

b) (3sin 3x – 4cos 3x = 5 Leftrightarrow frac{3}{5}sin 3x – frac{4}{5}cos 3x = 1.)

Đặt (cos alpha = frac{3}{5},,sin alpha = frac{4}{5},) suy ra:

(sin (3x – alpha ) = 1 Leftrightarrow 3x – alpha = frac{pi }{2} + k2pi Leftrightarrow x = frac{pi }{6} + frac{alpha }{3} + kfrac{{2pi }}{3},k in mathbb{Z}.)

c) Ta có:

(begin{array}{l}2sin x + 2{mathop{rm cosx}nolimits} – sqrt 2 = 0\ Leftrightarrow sin x + cos x = frac{1}{{sqrt 2 }}\ Leftrightarrow sqrt 2 sin left( {x + frac{pi }{4}} right) = frac{1}{{sqrt 2 }}\ Leftrightarrow sin left( {x + frac{pi }{4}} right) = frac{1}{2}\ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x + frac{pi }{4} = frac{pi }{6} + k2pi \x + frac{pi }{4} = frac{{5pi }}{6} + k2pi end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = – frac{pi }{{12}} + k2pi \x = frac{{7pi }}{{12}} + k2pi end{array} right.,k in mathbb{Z}.end{array})

d) Ta có:

(begin{array}{l}5cos 2x + 12sin 2x – 13 = 0\ Leftrightarrow 12sin 2x + 5cos 2x = 13\ Leftrightarrow frac{{12}}{{13}}sin 2x + frac{5}{{13}}cos 2x = 1end{array})

( Leftrightarrow sin (2x + alpha ) = 1) (left( {sin alpha = frac{5}{{13}};,cos alpha = frac{{12}}{{13}}} right))

(begin{array}{l} Leftrightarrow 2x + alpha = frac{pi }{2} + k2pi \ Leftrightarrow x = frac{pi }{4} – frac{alpha }{2} + kpi ,k in mathbb{Z}.end{array})

6. Giải bài 6 trang 37 sgk Đại số và Giải tích 11

Giải phương trình:

a) (small tan(2x + 1) tan(3x – 1) = 1)

b) (small tanx + tan(x + frac{pi }{4}) = 1)

Bài giải:

Phương pháp giải:

Câu a: Sử dụng công thức (tan x = frac{{sin x}}{{cos x}}) và (cos (a + b) = cos a.cos b – sin a.sin b) để biến đổi phương trình.

Câu b: Sử dụng công thức (tan x = frac{{sin x}}{{cos x}}); (sin (a + b) = sin a.cos b + {mathop{rm cosa}nolimits} .sin b) và (cos a.cos b = frac{1}{2}left[ {cos (a + b) + cos (a – b)} right]) để biến đổi phương trình.

Áp dụng:

a) Với điều kiện (left{begin{matrix} 2x+1neq frac{pi }{2}+k pi\ \ 3x-1neq frac{pi }{2}+k pi end{matrix}right. , kin mathbb{Z}) hay (left{begin{matrix} xneq frac{pi }{4}-frac{1}{2}+frac{k pi}{2}\ \ xneq frac{pi }{6}+frac{1}{2}+frac{k pi}{3} end{matrix}right. , kin mathbb{Z})

(Leftrightarrow tan(2x + 1) tan(3x – 1) = 1)

(1) (Leftrightarrow frac{sin(2x+1)sin(3x-1)}{cos(2x+1)cos(2x-1)}=1)

( Rightarrow cos(2x+1) cos(3x-1)-sin(2x+1) sin(3x-1) =0)

(Leftrightarrow cos(2x+1+3x-1)Leftrightarrow cos5x=0)

(Leftrightarrow 5x=frac{pi }{2}+kpi,kin mathbb{Z})

(Leftrightarrow x=frac{pi }{10}+frac{k pi}{5},kin mathbb{Z}) (thoả mãn điều kiện)

Vậy phương trình có nghiệm (x=frac{pi }{10}+frac{k pi}{5},kin mathbb{Z}.)

b) Điều kiện (left{begin{matrix} cosxneq 0\ cos(x+frac{pi }{4})neq 0 end{matrix}right.)

Khi đó (tanx+tanleft ( x+frac{pi }{4} right )=1)

(Leftrightarrow sinx.cosleft ( x+frac{pi }{4} right )+cosx.sinleft ( x+frac{pi }{4} right )= cosx.cosleft ( x+frac{pi }{4} right ))

(Leftrightarrow sinleft ( 2x+frac{pi }{4} right )=frac{1}{2} left [ cosleft ( 2x+frac{pi }{4} right ) +cos left ( – frac{pi }{4}right )right ])

(Leftrightarrow 2sinleft ( 2x+frac{pi }{4} right )-cosleft (2 x+frac{pi }{4} right )= frac{sqrt{2}}{2})

(Leftrightarrow frac{2}{sqrt{5}}sinleft ( 2x+frac{pi }{4} right ) -frac{1}{sqrt{5}}cos left (2x+frac{pi }{4} right )=frac{sqrt{2}}{10})

(Leftrightarrow sinleft (2x+frac{pi }{4} -alpha right )=frac{sqrt{2}}{10})

(Leftrightarrow Bigg lbrack begin{matrix} 2x+frac{pi }{4}-alpha = arcsin frac{sqrt{2}}{10} + k2 pi\ \ 2x+frac{pi }{4}-alpha = pi – arcsin frac{sqrt{2}}{10} + k2 pi end{matrix})

(Leftrightarrow Bigg lbrack begin{matrix} x= frac{alpha }{2}-frac{pi }{8}+ frac{1}{2}arcsin frac{sqrt{2}}{10} + kpi\ \ x = frac{alpha }{2}+frac{3pi }{8}- frac{1}{2} arcsin frac{sqrt{2}}{10} + kpi end{matrix}, knotin mathbb{Z})

Bài trước:

• Giải bài 1 2 3 4 5 6 7 trang 28 29 sgk Đại số và Giải tích 11

Bài tiếp theo:

• Ôn tập chương I: Giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 trang 40 41 sgk Đại số và Giải tích 11

Xem thêm:

• Các bài toán 11 khác
• Để học tốt môn Vật lí lớp 11
• Để học tốt môn Sinh học lớp 11
• Để học tốt môn Ngữ văn lớp 11
• Để học tốt môn Lịch sử lớp 11
• Để học tốt môn Địa lí lớp 11
• Để học tốt môn Tiếng Anh lớp 11
• Để học tốt môn Tiếng Anh lớp 11 thí điểm
• Để học tốt môn Tin học lớp 11
• Để học tốt môn GDCD lớp 11

Chúc các bạn làm bài tốt cùng giải bài tập sgk toán lớp 11 với giải bài 1 2 3 4 5 6 trang 36 37 sgk Đại số và Giải tích 11!

“Bài tập nào khó đã có giaibaisgk.com“